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某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部...

某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE,DF是两根支杆,其中AB=2米,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<manfen5.com 满分网).现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯,在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k,节能灯的比例系数为k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和.
(1)试将y表示为x的函数;
(2)试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.

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(1)由题意知,建立三角函数模型,根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度,用余弦定理写出要求的边长,表述出函数式,整理变化成最简的形式,得到结果. (2)要求函数的单调性,对上一问整理的函数式求导,利用导数求出函数的单增区间和单减区间,看出变量x取到的结果. 【解析】 (1)∵∠EOA=∠FOB=2x, ∴弧EF、AE、BF的长分别为π-4x,2x,2x 连接OD,则由OD=OE=OF=1, ∴, ∴ =; (2)∵由, 解得, 即, 又当时,y'>0,此时y在上单调递增; 当时,y'<0,此时y在上单调递减. 故当时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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