Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）将数列递推式变形，结合bn=，即可证得数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：∵an+1=an，∴
∵bn=，∴=2，∴数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知=2n，∴
∴Sn=1×21+2×22+…+n•2n①
∴2Sn=1×22+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②：-Sn=21+22+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．