Question

已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）-g（x），过点（1，-1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer

（I）把a=3代入化简后不等式易解；
（Ⅱ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解；
（Ⅲ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况．
【解析】
（I）当a=3时，原不等式可化为：1+eln3x+＞0；
等价于，解得x，
故解集为
（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，
令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范围为：[1，+∞）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x，），
∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：
即，①
设g（x）=，则
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．
又g（）=+12-6-1=-ln4-3＜0，
由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，
方程①有且仅有一解，
故符合条件的切线有且仅有一条．