Question

设函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）．
（Ⅰ）若f（x²-x）＞f（2），求x的取值范围；
（Ⅱ）记函数f（x）的反函数为g（x），若a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．

Answer

（Ⅰ）根据函数f（x）=logax，把其代入不等式f（x2-x）＞f（2），注意0＜a＜1，函数f（x）为减函数，可以得到一个一元二次不等式，从而求解；
（Ⅱ）根据函数f（x）的反函数为g（x），求出g（x），根据a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，将问题转化为在区间[2，+∞）上恒成立，求出的最大值即可；
【解析】
（Ⅰ）由已知，
因为0＜a＜1，所以0＜x2-x＜2，…（2分）
解x2-x＜2，得-1＜x＜2．
解x2-x＞0，得x＞1或x＜0．
所以x的取值范围是{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．…（4分）
（Ⅱ）g（x）为f（x）的反函数，所以g（x）=ax．…（5分）
由已知a+kax-1≥0在区间[2，+∞）上恒成立，
因为ax-1＞0，所以在区间[2，+∞）上恒成立，…（6分）
即k大于等于的最大值．…（7分）
因为0＜a＜1，所以，又x-2∈[0，+∞），
所以的最小值为1，的最大值为-1，…（9分）
所以k≥-1，
所以k的最小值为-1．…（10分）