Question

已知函数f（x）在其定义域上满足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函数y=f（x）的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
②当f（x）时，求x的取值范围；
③若f（0）=0，数列{a_n}满足a₁=1，那么若0＜a_n+1≤f（a_n）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{a_n}，恒成立，求最小的N．

Answer

①化简函数y=f（x）的表达式，通过反比例函数判断函数的图象是对称图形，直接指出其对称中心；
②通过f（x），转化分式不等式与不等式组的形式，然后求x的取值范围；
③利用f（0）=0，推出a=1，求出函数的表达式，通过0＜an+1≤f（an）构造，推出，结合恒成立，可求n的最小值，即可求最小的N．
【解析】
①∵xf（x）+2af（x）=x+a-1
∴（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a时，则a=-1，与a＞0矛盾
∴x≠-2a，∴f（x）==1-（x≠-2a）
∴f（x）是中心对称图形，对称中心为（-2a，1）
②∵f（x）∈[，]，
⇒⇒
又a＞0，所以⇒2≤x≤3a+5
③∵f（0）=0，∴a=1，∴f（x）=
由0＜an+1≤f（an）⇒，即，令
∴bn+1≤bn，又an＞0，∴，又a1=1，∴b1=2
当n≥2，
（或）
又∵b1=1也符合，，∴（n∈N*）
即，（n∈N*）
要使an＜恒成立，只需即2n＞11．
∴n＞3．
所以N=3