Question

在三角形ABC中，角A、B、C满足sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）求函数y=2sin²B-cos2A的值域．

Answer

（1）化简三角恒等式，然后利用和角公式进行整理，最后根据特殊值的三角函数求出角C即可；
（2）角A用角B表示，转化成角B的三角函数，利用辅助角公式进行化简，根据角B的范围，可求出函数的值域．
【解析】
（1）由sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC
得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC
所以sin（B+C）=2sinAcosC
又A+B+C=π，所以，sinA=2sinAcosC，因为0＜A＜π，sinA＞0，
所以cosC=，又0＜C＜π，所以C=
（2）在三角形ABC中，C=，故A+B=，
y=2sin2B-cos2（-B）
=2sin2B+cos（-2B）
=1-cos2B+cos2B+sin2B
=sin2B-cos2B+1
=sin（2B-）+1
∵0＜B＜
∴2B-∈（-，）
则sin（2B-）∈（-，1]
∴函数y=2sin2B-cos2A的值域（，2]