Question

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），设f（m）=n．
给出下列命题：
①f（）=0；
②f（x）是偶函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（，0）对称
则下列命题的正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④

Answer

先弄清楚由区间（0，1）到实数集R的映射过程，并画出如图所示的图象，进而可判断出答案．
【解析】
根据映射规则，画出如图所示的图象．
①当m=时，点M在y轴上，此时AM在y轴上，直线AM与x轴交于点N（0，0），∴f（）=0，故①正确；
②∵m的取值范围是（0，1），关于原点不对称，故不是偶函数，因此②不正确；
③其对应规则是：m从0到1逐渐增大时，f（m）依次从-∞到+∞逐渐增大，故f（x）在定义域上单调递增，因此③正确；
④由图3可知：圆上的点M与M′关于y轴对称时，f（m）与f（m′）在x轴上对应的点N与N′也关于原点对称，即f（x）的图象关于点（，0）对称．
故选C．