Question

已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）的距离之和为，且其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F₂．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆上的任意一点到它的两个焦点的距离之和为，且其焦距为2，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量知识，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）依题意可知
又b2=a2-c2，解得------------------（2分）
则椭圆方程为．---------------------（4分）
（Ⅱ）联立方程消去y整理得：3x2+4mx+2m2-2=0（6分）
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0
解得①--------------------（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
又F2（1，0），∴，
若存在，则，即：（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，∴x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0②
又y1=x1+m，y2=x2+m，∴
代入②有
∴，
解得或------------------（11分）
检验都满足①，∴------------------（12分）