Question

已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求b，c的值及f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）设p＞0，q＞0，g（x）=f（x）+x²，求证：5g（）≤3g（p）+2g（q）．

Answer

（Ⅰ），，故，由此能求出b，c的值及f（x）的单调减区间．
（Ⅱ）先证，即证，再证明5g（）≤3g（p）+2g（q）．
【解析】
（Ⅰ），（1分）
，
∴，
即-b+b+ec=0，
∴c=0，
∴f'（x）=blnx+b，
又f'（1）=1，
∴bln1+b=1，
∴b=1，
综上，b=1，c=0，（3分）
f（x）=xlnx，由定义域知x＞0，f'（x）=lnx+1，
∵，
∴f（x）的单调减区间为．（5分）
（Ⅱ）先证
即证
即证，（6分）
令，∵p＞0，q＞0，∴t＞0，
即证
令，
则，
∴=，（8分）
①当3+2t＞5t即0＜t＜1时，，即h'（t）＞0
h（t）在（0，1）上递增，∴h（t）＜h（1）=0，（9分）
②当3+2t＜5t，即t＞1时，ln＜0，即h′（t）＜0，
h（t）在（1，+∞）上递减，
∴h（t）＜h（1）=0，（10分）
③当3+2t=5t，即t=1时，h（t）=h（1）=0，
综合①②③知h（t）≤0，
即ln≤，（11分）
即5f（）≤3f（p）+2f（q），
∵5•（）2-（3p2+2q2）=≤0，
∴5•（）2≤3p2+2q2，
综上，得5g（）≤3g（p）+2g（q）．（12分）