Question

已知函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=1处有极大值7．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer

（1）对f（x）进行求导，根据函数f（x）=2x3-ax2+6bx在x=1处有极大值7，可得f′（-1）=0，f（-1）=7，从而求出a和b，求出f（x）的解析式，再利用导数研究其单调性；
（2）由（1）已知f（x）的单调区间，令f′（x）=0，求出极值点，得到极大值和极小值，可以利用导数研究其最值问题；
【解析】
（1）f′（x）=6x2-2ax+6b，…（1分）
   …（2分）⇒
⇒，…（3分）
∴f（x）=2x3-3x2-12x．     …（4分）
又∵f′（x）=6x2-6x-12，由f′（x）＞0得6x2-6x-12＞0解得x＜-1或x＞2（5分）
由f′（x）＜0得6x2-6x-12＜0，解得-1＜x＜2 …（6分）
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（2，+∞），…（7分）
f（x）的单调减区间为（-1，2）．  …（8分）
（2）f′（x）=0得x=-1和x=2
则f（x）在[-3，3]的变化情况如下表

x -3 （-3，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3） 3
f′（x） + - +
f（x） -45 ↗ 7 ↘ -20 ↗ -9

由表知f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分别为7，-45     …（13分）