Question

定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）在R上是增函数；
（3）若ff（3^x-9^x-2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）利用赋值法，令x=0，y=1，结合当x＞0时，f（x）＞1，可求f（0）的值；
（2）在R上设出两个变量，利用当x＞0时，f（x）＞1，确定函数值的大小关系，即可证得结论；
（3）利用单调性，结合f（x+y）=f（x）f（y），f（0）=1，转化为具体不等式，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数k的取值范围．
（1）【解析】
令x=0，y=1，则f（0+1）=f（0）f（1），
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）=1；
（2）证明：设x1＜x2，则x2-x1＞0
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2-x1）＞1
∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）＞f（x1）
∴f（x）在R上是增函数；
（3）【解析】
∵f（x）在R上是增函数，f（k•3x） f（3x-9x-2）=f（k 3x+3x-9x-2）＜f（0），
∴32x-（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．
∴1+k＜3x+
∵3x＞0，∴3x+≥
∴k＜．