Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=0，n•a_n+1=S_n+n（n+1），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）把n=1代入已知的等式，由S1=a1=2，得到第2项与第1项的差为常数2，然后由已知的等式，再写一式，两式相减得第n+1项与第n项的差也为常数2，从而得到此数列为首项是0，公差也是2的等差数列，写出通项公式即可；
（2）求出bn，设前n项和为Tn，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和；
（3）分别求出Pn与Qn，作差，可得结论．
【解析】
（1）把n=1，代入n•an+1=Sn+n（n+1）得：1•a2=S1+1=a1+1=2+1=3，即a2-a1=2，
∵n•an+1=Sn+n（n+1）①，∴n≥2时，（n-1）•an=Sn-1+n（n-1）②，
①-②得：n•an+1-（n-1）•an=an+2n，
化简得：an+1-an=2（n≥2），
∵a2-a1=2，∴an+1-an=2（n∈N+），
即数列{an}是以0为首项，2为公差的等差数列，
∴an=0+2（n-1）=2（n-1）；
（2）由an+log3n=log3bn得：bn=n•32n-2（n∈N*）
Tn=b1+b2+b3++bn=3+2•32+3•34+…+n•32n-2，①
∴9Tn=3+2•32+3•34+…+n•32n，②
②-①得：8Tn=n•32n-（3+32+34+…+32n-2）=n•32n-
∴Tn=；
（3）∵an=2（n-1），
∴Pn=a1+a4+a7+…+a3n-2==n（3n-3），Qn=a10+a12+a14+…+a2n+8==n（2n+16）
∴Pn-Qn=n（3n-3）-n（2n+16）=n2-19n
若n2-19n＞0，即n＞19时，Pn＞Qn；若n2-19n=0，即n=19时，Pn=Qn；若n2-19n＜0，即1≤n＜19时，Pn＜Qn．