Question

已知函数，函数f（x）在处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，求实数t的取值范围；
（3）对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer

（1）由题意，x＜1时，f（x）=ax3+x2，求导数，利用函数f（x）在处取得极值，可得f′（）=0，从而可求a的值；
（2）由题意，x=e时，blne=b≤2，利用b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，可得x=t时，函数取得最大值2，由此可求实数t的取值范围；
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），显然t≠1．由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．
【解析】
（1）由题意，x＜1时，f（x）=ax3+x2，则f′（x）=3ax2+2x，
∵函数f（x）在处取得极值，∴f′（）=a+=0，解得a=-1；
（2）由题意，x=e时，blne=b≤2
∵b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，
∴x=t时，函数取得最大值2，即-t3+t2=2，
∴t=-1；
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），显然t≠1
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0即-t2+f（t）（t3+t2）=0（*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2代入（*）式得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0
即t4-t2+1=0，而此方程无解，因此t＞1．此时f（t）=blnt，
代入（*）式得：-t2+（blnt）（t3+t2）=0即=（t+1）lnt（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．
∴对于b＞0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．
因此，对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．