Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）关于点对称
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③在[0，1]上是增函数；
④f（2）=f（0）．
其中正确的判断是    ．（把你认为正确的判断都填上）

Answer

由f（-x）=f（x），f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），则可求f（x）图象关于点对称；
f（x）图象关于y轴（x=0）对称，可得x=1也是图象的一条对称轴，故可判断①②；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数；
由f（x+1）=-f（x）可得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），故f（2）=f（0）．
【解析】
由f（x）为偶函数可得f（-x）=f（x），由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），则f（x）图象关于点对称，即①正确；
f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②正确；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，即③错；
由f（x+1）=-f（x）可得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），∴f（2）=f（0），即④正确
故答案为：①②④