Question

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB⊥AP，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，现将△PCD沿折线CD折成直二面角P-CD-A，设E，F分别是PD，BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取AD中点M，连接EM，MF，EF，证明平面EMF∥平面PAB，可得EF∥平面PAB；
（Ⅱ）证明PD⊥平面ABCD，求出BE，利用等体积求出E到平面PAB的距离，从而可求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：取AD中点M，连接EM，MF，EF，则
∵E，F分别是PD，BC的中点，
∴EM∥PA，MF∥AB
∵EM∩MF=M，PA∩AB=A
∴平面EMF∥平面PAB
∵EF⊂平面EMF
∴EF∥平面PAB；
（Ⅱ）【解析】
∵二面角P-CD-A为直二面角，AD⊥DC
∴AD⊥平面PDC
∵PD⊂平面PDC，∴PD⊥AD
∵PD⊥DC，AD∩DC=D
∴PD⊥平面ABCD
设E到平面PAB的距离为h，连接BD，则BD=3，
∵PD=4，∴PB=，BE=
∵PA=5，AB=3，∴PA⊥AB，∴
∵
∴由等体积可得：×3×3=×h，∴h=
∴直线BE与平面PAB所成角的正弦值为=．