Question

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：．

Answer

（1）设G（x）=x2-x-lnx，根据其导函数得到其最小值即可得到结论成立；
（2）先令h（x）=f（x）-ag（x）；根据h（1）=0得到h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0；求出a即可；
（3）先求出其导函数，把问题转化为方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根，再结合根与系数的关系得到m的范围；进而得到m与x2之间的关系；最后通过对关于x2的函数的求导，找到其最值点，即可得到结论成立．
【解析】
（1）设G（x）=x2-x-lnx，
故（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0，得a=1…3'
当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x2-x+mlnx，所以，
F（x）有两个极值点x1、x2等价于
方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根
∴得  …2'
由F'（x）=0得m=-2x22+x2，（）
∴F（x2）=x22-x2+（x2-2x22）lnx2
设，
得ϕ'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴
所以…4'