Question

已知过点A（0，1）且方向向量为的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若O为坐标原点，且，求k的值．

Answer

（1）由已知可设直线l的方程为y=kx+1，联立直线方程和圆的方程，根据直线与圆有两个交点，故方程有两个不等的交点，即△＞0，进而可得实数k的取值范围；
（2）设出M，N的坐标，由（1）中方程及韦达定理，结合=x1•x2+y1•y2，可构造关于k的方程，解方程可得答案．
【解析】
（1）直线l过点A（0，1）且方向向量为
∴直线l的方程为y=kx+1
将其代入圆C：（x-2）2+（y-3）2=1得：
（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0…①
若直线l与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N两点
则△=16（1+k）2-28（1+k2）＞0
解得＜x＜
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由①得

=x1•x2+y1•y2=（1+k2）x1•x2+k（x1+x2）+1=+8=12
∴k=1