Question

已知椭圆，过点P（1，1）作直线l与椭圆交于M、N两点．
（1）若点P平分线段MN，试求直线l的方程；
（5）设与满足（1）中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A、B两点，AP与椭圆交于点C，BP与椭圆交于点D，求证：CD∥AB．

Answer

（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），则有xM+xN=2，yM+yN=2，利用点差法，可得，从而可求直线l的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且，，可得，，将点A、C的坐标分别代入椭圆方程，化简可得，同理有，由此可得λ1=λ2，故可证得结论．
（1）【解析】
设M（xM，yM），N（xN，yN），则有xM+xN=2，yM+yN=2.①②
①-②化简可得+=0
∴．
故直线l的方程为，即x+2y-3=0．（5分）
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且，
∴1-x1=λ1（x3-1），1-y1=λ1（y3-1）
∴，
将点A、C的坐标分别代入椭圆方程：①，②
②×-①，并约去1+λ1得③
同理有④
④-③可得+=λ2-λ1
∵，∴+=0
∴
即，即λ1=λ2，
所以CD∥AB．（12分）