Question

已知函数f（x）=x+sinx
（I）当x∈[0，π]时，求f（x）的值域；
（II）设g（x）=f′（x）-1，若g（x）≥1+ax²在[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求出函数的导函数的解析式，分析导函数的符号，进而确定函数在区间[0，π]上的单调性，分析出函数在区间[0，π]上的最值后，可得f（x）的值域；
（II）求出函数g（x）的解析式，构造函数h（x）=g（x）-ax2-1，对a进行分类讨论，确定函数h（x）在[0，+∞）上的单调性，最后综合讨论结果，可得答案．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x+sinx
∴f′（x）=1+cosx≥0恒成立，
∴f（x）=x+sinx在x∈[0，π]上单调递增．
∴当x=0时，函数取最小值0，当x=π时，函数取最大值π
所以函数f（x）的值域为[0，π]…．（6分）
（Ⅱ）由（I）得g（x）=f′（x）-1=cosx，
记h（x）=cosx-ax2-1，则h′（x）=-sinx-2ax．
当a≤-时，h′（x）≥0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增．
又h′（x）=0，故h′（x）≥0．从而h（x）在[0，+∞）上单调递增．
所以h（x）≥h（0）=0，即cosx≥1+ax2在[0，+∞）上恒成立…．（9分）
当a＞时，h′（x）=-1-2a＜0
∴∃x＞0，使x∈（0，x）时，h′（x）＜0．
所以h′（x）在（0，x）上单调递减，从而h′（x）≤h′（0）=0，
故h（x）在（0，x）上单调递减，h（x）＜h（0）=0这与已知矛盾． …
综上，故a的取值范围为a≤-． …．（13分）