Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，b_n=．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；  
（2）当n取何值时，{b_n}取最大值，并求出最大值；
（3）若＜对任意m∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）将an，代入函数f（x）与g（x）的解析式化简得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0，所以两边除以an-1，得10（an+1-1）=9（an-1），而a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为的等比数列．
（2）求出bn的通项公式，然后研究{bn}的单调性，从而求出n取何值时，bn取最大值，以及最大值；
（3）设数列{}，若＜对任意m∈N*恒成立，则数列{}为递增数列，设其通项为cn=为递增数列；那么对于任意的自然数n，我们都有cn+1≥cn，从而求出t的取值范围．
证明：（1）由方程，（an+1-an）g（an）+f（an）=0
得：（an+1-an）×10×（an-1）+（an-1）2=0
整理得（an-1）[10×（an+1-an）+an-1]=0；
显然由a1=2，则an显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以an-1；
得10×（an+1-an）+an-1=0．整理后得：10（an+1-1）=9（an-1），
a1-1=1，{an-1}就是首项为1，公比为的等比数列．
【解析】
（2）将an-1=（）n-1代入得bn=（）n×（n+2）．
bn+1-bn=（）n+1×（n+3）-（）n×（n+2）=（）n×．
∴{bn}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减
∴当n取7或8，{bn}取最大值，最大值为9×（）7
（3）设数列{}，若＜对任意m∈N*恒成立，
则数列{}为递增数列，设其通项为cn=为递增数列；
那么对于任意的自然数n，我们都有cn+1＞cn 显然我们可以得：＞
该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大，就行取n=1．求得t＞
∴实数t的取值范围为（，+∞）