Question

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{a_n}满足a₁=e，．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项；
（III）对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求证：存在唯一的x∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x）．

Answer

（I）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（II）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar，as，at，寻求矛盾即可．
（III）假设存在，再进行论证
【解析】
（I），得
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x
f′（x） + -
f（x） 单调递增 极大值 单调递减

∴当时，f（x）取得极大值，没有极小值；      …（4分）
（II）∵，∴an+1=2an+e，∴an=e（2n-1）…（6分）
假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar，as，at（r＜s＜t），
则2as=ar+at，2e（2s-1）=e（2r-1）+e（2t-1），2s+1=2r+2t，∴2s-r+1=1+2t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2s-r+1为偶数，1+2t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{an}中不存在成等差数列的三项   …（8分）
（III）∵f′（x）=kAB，∴，∴
即，设，，g（x1）是x1的增函数，
∵x1＜x2，∴；，，g（x2）是x2的增函数，
∵x1＜x2，∴，
∴函数在（x1，x2）内有零点x，…（10分）
又∵，∴，函数在（x1，x2）是增函数，
∴函数在（x1，x2）内有唯一零点x，命题成立…（12分）