Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，且对于任意，则（ ）
A．函数y=f（x+1）一定是周期为4的偶函数
B．函数y=f（x+1）一定是周期为2的奇函数
C．函数y=f（x+1）一定是周期为4的奇函数
D．函数y=f（x+1）一定是周期为2的偶函数

Answer

利用已知条件判断函数的单调性，求出函数的最值，推出函数的周期，即可得到正确选项．
【解析】
因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，
且对于任意，
即函数y=f（x）在[-1，1]上是单调增函数，
∴f（x+1）在x=0和x=-2处分别取得最大值和最小值，即函数的周期是T=2×[0-（-2）]=4，
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，
所以φ=0，函数f（x）=Asinωx是奇函数，x=1是对称轴，
函数向左平移1单位，得到函数f（x+1），它的对称轴是y轴，
∴函数y=f（x+1）一定是周期为4的偶函数．
故选A．