Question

定义：若∃x∈R，使得f（x）=x成立，则称x为函数y=f（x）的一个不动点
（1）下列函数不存在不动点的是______（单选）
   A．f（x）=1-log_ax（a＞1）B．f（x）=x²+（b+2）x+1（b＞1）C．f（x）=lnx        D．f（x）=x
（2）设f（x）=2lnx-ax²（a∈R），求f（x）的极值
（3）设（e为自然对数的底数），当a＞0时，讨论函数g（x）是否存在不动点，若存在求出a的范围，若不存在说明理由．

Answer

（1）令x=1，可判断A中函数是否存在不动点，构造函数（x）=f（x）-x，判断函数是否存在零点，可判断B中函数是否存在不动点，根据不动点的定义，可判断D中函数有无数个不动点；
（2）求出函数的导函数，分析函数的单调性，进而可得函数的极值点，代入解析式可得函数的极值．
（3）若函数存在不动点，则方程g（x）=x有解，即有解，利用导数法求出的最值，比较后可得结论．
解．（1）当x=1时，f（x）=1-logax=x，故A中函数f（x）存在不动点；
令g（x）=f（x）-x=x2+（b+1）x+1
∵b＞1
∴△=（b+1）2-4＞0
则方程g（x）=0有根，即B中函数f（x）存在不动点；
D中任意x值均为不动点，
故选C┅┅（4分）
（2）
①当a=0时，，f（x）在（0，+∞）上位增函数，无极值；
②当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上位增函数，无极值；
③当a＞0时，f'（x）=0，得，列表如下：

X
f'（x） + _
f（x） 增 极大值 减

当时，f（x）有极大值=
综上，当a≤0时无极值，当a＞0时f（x）有极大值=．┅┅（10分）
（3）假设存在不动点，则方程g（x）=x有解，即有解．
设h（x）=，（a＞0）有（2）可知h（x）极大值==，下面判断h（x）极大值是否大于0，设，（a＞0），，列表如下：

A （0，e）） e （e，+∞）
p'（a） + -
P（a） 增 极大值 减

当a=e时，p（a）极大值=p（e）=＜0，所以恒成立，即h（x）极大值小于零，所以g（x）无不动点．┅┅（14分）