Question

数列为等差数列，且b₅=9，b₇=13．
（I）t为何值，数列{a_n}是等比数列？
（II）在（I）的条件下，若．

Answer

（I）由an+1=Sn+1，知当n≥2时，an=Sn-1+1，两式相减，得an+1-an=an，故an+1=2an，由此能求出结果．
（II）由数列{bn}为等差数列，知公差d==，所以bn=2n-1，由此入手利用错位相减法能够求出Tn．
【解析】
（I）∵an+1=Sn+1，
∴当n≥2时，an=Sn-1+1，
两式相减，得an+1-an=an，
∴an+1=2an，
要使数列{an}是等比数列，当且仅当，即=2，
∴t=1．
故t=1时，数列{an}是等比数列．
（II）∵数列{bn}为等差数列，则公差d==，
∴首项b1=b5-4d=9-4×2=1，
∴bn=2n-1，
由（I）知，，n∈N*，
∴cn=an•bn=2n-1，n∈N*
∴，①
∴2+（2n-1）×2n，②
①-②，得-Tn=1×2+2（21+22+23+…+2n-1）-（2n-1）×2n，
∴Tn=3+（2n-3）×2n．