Question

点P在曲线C：+y²=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的所有点都是“H点”
B．曲线C上仅有有限个点是“H点”
C．曲线C上的所有点都不是“H点”
D．曲线C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”

Answer

设出-2≤xP＜xA≤2，利用相似三角形求得xP和xA的关系，设出PA的方程与椭圆方程联立求得xAxP的表达式，利用判别式大于0求得k和m的不等式关系，最后联立①②③求得xA的范围，进而通过xA＜1时，xP=2xA-4＜-2，故此时不存在H点，进而求得H点的横坐标取值范围，判断出题设的选项．
【解析】
由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设-2≤xP＜xA≤2，（此时PA=AB）．
由相似三角形，2|4-xA|=|4-xP|
即：xP=2xA-4…①
设PA：y=kx+m，与椭圆联立方程组，
解得
xAxP=…②
∵△＞0
4k2＞m2-1…③
联立①②③，得xA2-2xA＜
而0＜＜2
即xA2-2xA＜2
即1-≤xA≤2
而当xA＜1时，xP=2xA-4＜-2，故此时不存在H点
又因为P的位置可以和A互换（互换后即PA=PB），
所以H点的横坐标取值为[-2，0]U[1，2]
故选D