Question

已知双曲线的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可得|CA|=|DA|，结合韦达定理，即可求得m的取值范围．
【解析】
（1）由题意可得：，则①
设直线方程为，原点到直线距离为，则，即②，
由①②可得a=，b=1，∴双曲线方程为；
（2）设C（x1，y1）、D（x2，y2），由
消去y整理可得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，
∴△=（-6km）2-4（1-3k2）（-3m2-3）＞0，即m2+1＞3k2，③
∵C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，
∴|CA|=|DA|
∴=
∵y1=kx1+m，y2=kx2+m
∴（1+k2）（x1+x2）+2k（m+1）=0
∵x1+x2=
∴（1+k2）×+2k（m+1）=0
∴4m+1-3k2=0
∵m2+1＞3k2＞0
∴m2+1＞4m+1＞0
∴＜m＜0或m＞4