Question

已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），…（n∈N^*）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求S_n．

Answer

（I）根据等比数列的通项公式，可得f（an）=m2•mn-1=mn+1，从而可得an=n+1，进而可证数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；
（II）当m=2时，bn=（n+1）•2n+1，利用错位相减法可求数列的和；
证明：（I）由题意f（an）=m2•mn-1=mn+1，
即．
∴an=n+1，（2分）
∴an+1-an=1，
∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
【解析】
（II）由题意bn=an•f（an）=（n+1）•mn+1，
当m=2时，bn=（n+1）•2n+1
∴Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1 ①
①式两端同乘以2，得
2Sn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2 ②
②-①并整理，得
Sn=-2•22-23-24-25-…-2n+1+（n+1）•2n+2
=-22-（22+23+24+…+2n+1）+（n+1）•2n+2
=-22-+（n+1）•2n+2
=-22+22（1-2n）+（n+1）•2n+2
=2n+2•n．