(1)根据导数写出f1(x),f2(x)归纳出fn(x);
(2)由(1)知fn(x)的表达式,要求极值点,就要借助导函数,令导函数为0,解出xn,验证是极值后代入解析式即可求出yn.
(3)类比求fn(x)的极小值的过程求出gn(x)的极大值,进而求出最值即可.
【解析】
(Ⅰ)(n∈N*).…(4分)
(Ⅱ)∵,
∴当x>-(n+1)时,;当x<-(n+1)时,.
∴当x=-(n+1)时,fn(x)取得极小值,
即(n∈N*).…(8分)
(Ⅲ) 解法一:∵,所以.…(9分)
又,
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
令h(x)=(x-3)2+e-(x+1)(x≥0),则h'(x)=2(x-3)-e-(x+1).…(10分)
∵h'(x)在[0,+∞)单调递增,∴h'(x)≥h'(0)=-6-e-1,
∵h'(3)=-e-4<0,h'(4)=2-e-5>0,
∴存在x∈(3,4)使得h'(x)=0.…(12分)
∵h'(x)在[0,+∞)单调递增,
∴当0≤x<x时,h'(x)<0;当x>x时,h'(x)>0,
即h(x)在[x,+∞)单调递增,在[0,x)单调递减,
∴(h(x))min=h(x),
又∵h(3)=e-4,h(4)=1+e-5,h(4)>h(3),
∴当n=3时,a-b取得最小值e-4.…(14分)
解法二:∵,所以.…(9分)
又,
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
令,
则,…(10分)
当n≥3时,,又因为n≥3,所以2n-5≥1,,,所以,所以cn+1>cn.…(12分)
又,c1>c2>c3,
∴当n=3时,a-b取得最小值e-4.…(14分)