Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是数列{a_n}的前n项和；数列{b_n}前n项的积为T_n，且
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）是否存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．
（3）求数列的前n项和．

Answer

（1）由题知an+an+1=4n，可得an+1+an+2=4（n+1），两式相减即得an+2-an=4，即数列{an}隔项成等差数列，分类可求；（2）先求得，假设存在a，由此展开退理得矛盾；（3）由（2）可得数列的通项公式，由裂项相消法可求和．
【解析】
（1）由题知an+an+1=4n，可得an+1+an+2=4（n+1），两式相减即得
an+2-an=4，即数列{an}隔项成等差数列
又a1=1，代入式子可得a2=3，
∴n为奇数时，；…（2分）
n为偶数时，．…（3分）
∴n∈N+，an=2n-1…（4分）
又当n=1时 ，
n≥2时
∴n∈N+，…（6分）
（2）由（1）知an=2n-1，数列{an}成等差数列
∴
∴，，
若存在常数a，使得{Sn-a}成等差数列，则（Sn-a）+（Sn+2-a）=2（Sn+1-a）在n∈N+时恒成立
即n2-a+（n+2）2-a=2（（n+1）2-a）化简得：4=2，矛盾
故常数a不存在     …（10分）
（3）由（2）知
∴
==…（13分）