Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

Answer

（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为S海里，根据余弦定理可得S关于t的表达式，进而可知当t=时，S有最小值为10，进而求得此时的速度v．
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇．根据余弦定理可得v关于t的表达式，再根据t的范围及二次函数的单调性求得v的最小值及此时t的值．
【解析】
（Ⅰ）设相遇时小艇的航行距离为S海里，
则S===
故当t=时，S有最小值为10，此时v==30
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇．
由题意可知：（vt）2=202-（30t）2-2•20•30t•cos（90°-30°）
化简得=
由于0＜t≤，即
所以当时，v取得最小值10
即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．