Question

已知二次函数f（x）满足以下两个条件：
①不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）
②函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值是3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且a₁=99
（ⅰ）求证：数列{lg（1+a_n）}为等比数列
（ⅱ）令b_n=lg（1+a_n），是否存在正实数k，使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1对于一切的n∈N^*恒成立？若存在，指出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意，设f（x）=ax（x+2）（a＞0），确定函数的对称轴，利用函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值，即可求得函数解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）利用点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，化简可得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即可证得数列{lg（1+an）}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（ⅱ）要使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立，则kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．利用n=1时，k-2-2＞0成立，可得k＞4，再验证kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立即可．
（Ⅰ）【解析】
由题意，设f（x）=ax（x+2）（a＞0），∴函数的对称轴为直线x=-1
∴函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值是f（1）=3a=3
∴a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=ax（x+2）；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：∵点（an，an+1）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，
∴an+1=an2+2an，∴1+an+1=（1+an）2，
∴lg（1+an+1）=2lg（1+an）
∵a1=99
∴lg（1+a1）=2
∴数列{lg（1+an）}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（ⅱ）【解析】
bn=lg（1+an）=2n，要使不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立，则kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立．
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4；
设g（n）=kn2-2n-2，当k＞4时，由于对称轴为n=＜1，且g（1）＞0，而函数f（x）在[1，+∞）上是增函数
∴kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立
∴k＞4时，不等式kn2bn＞（n+1）bn+1对于一切的n∈N*恒成立．