Question

已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（1）p=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤p²x²，求实数p的取值范围．

Answer

（1）求出切线斜率，切点坐标，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（3）记g（x）=f（x）-p2x2=lnx-px+1-p2x2（x＞0），求导数，分类讨论，确定g（x）的最大值，解不等式，可求p的取值范围．
【解析】
（1）p=1，f'（1）=1-1=0，f（1）=0-1+1=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=0（2分）
（2）
当p≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，函数f（x）无极值； （4分）
当p＞0时，上f'（x）＞0，f（x）单调递增；上f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴f（x）的极大值为，f（x）无极小值 （6分）
（3）记g（x）=f（x）-p2x2=lnx-px+1-p2x2（x＞0）
∴（7分）
当p=0时，g（x）=lnx+1，g（e）＞0不符合条件 （8分）
当p＞0时，px+1＞0，上g'（x）＞0，g（x）单调递增；上g'（x）＜0，g（x）单调递减
∴g（x）的最大值为，∴（10分）
当p＜0时，2px-1＜0，上g'（x）＞0，g（x）单调递增；上g'（x）＜0，g（x）单调递减
∴g（x）的最大值为，∴p≤-e
故p的取值范围是（12分）