Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；
（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．

Answer

（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得（|x-3|+|x-2|）min=1，从而可求得k的取值范围；
（2）当k=1时，对x分类讨论后去掉绝对值符号，从而可求得每部分的解集，最后取各种情况之并即可．
【解析】
（1）|x-3|+|x-2|+k≥3，∀x∈R恒成立
即（|x-3|+|x-2|）min≥3-k，
又|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1，
∴（|x-3|+|x-2|）min=1≥3-k，
∴k≥2；…5分
（2）当k=1时，
若x≤2，f（x）＜3x⇔2-x+3-x+1＜3x，
∴5x＞6，解得x＞，
∴＜x≤2；
当2＜x＜3时，同理可得3x＞2，解得x＞，
∴2＜x＜3
当x≥3时，x＞-4，
∴x≥3
综上所述，不等式的解集为（，+∞）…10分．