Question

数列{a_n}为正项等比数列，且满足；设正项数列{b_n}的前n项和为S_n，满足．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设C_n=a_nb_n，求数列{C_n}的前项的和T_n．

Answer

（1）设数列{an}的公比为q，由，得，可解得q2=4．由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，得：．当n≥2时，，得出数列{bn}为等差数列，且公差d=2，由此能求出数列{Cn}的前项的和Tn．
【解析】
（1）设数列{an}的公比为q，
由，得，
所以q2=4．
由条件知q＞0，故q=2．
由，得，所以a1=2．
故数列{an}的通项公式为：．
（2）又由，
得：．
当n≥2时，，
∴4bn=（bn+1）2-（bn-1+1）2
整理，得（bn+bn-1）（bn-bn-1-2）=0，
∵正项数列{bn}，∴bn-bn-1=2，
∴数列{bn}为等差数列，且公差d=2，
又，∴，
∴bn=1+2（n-1）=2n-1．
由cn=anbn，得，
Tn=c1+c2+c3+…+cn
=（2×1-1）21+（2×2-1）22+…+（2n-1）2n，①
②
①-②，得：

∴．