Question

已知函数f（x）=x²+mlnx．．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为3，求实数m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数在[1，2]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=x2+mlnx，知，由函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为3，知f'（2）=3，由此能求出m．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当m≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当m＜0时，，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由，得，由函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x2+mlnx，
∴，
∵函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为3，
∴f'（2）=3，
∴，
解得m=-2．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
①当m≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当m＜0时．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x
f'（x） - +
f（x） 极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；
单调递增区间是．
（3）由，得，
∵函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
∴g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
∴在[1，2]上恒成立．
∴在[1，2]上恒成立．
令，
在[1，2]上，
所以h（x）在[1，2]为减函数．h（x）min=h（2）=-7，
所以m≤-7．