Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）设BD=1，求三棱柱D-ABC的表面积、体积、内切球半径、外接球半径．

Answer

（Ⅰ）注意折叠前后的量的关系，用面面垂直的判定可得：
（Ⅱ）由题意可得三棱锥的棱长，可求得表面积和体积，由等体积的方法可求内切球的半径，把三棱柱D-ABC的外接球转化为正方体的外接球可得答案．
【解析】
（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由题意可知：BD=CD=AD=1，AB=BC=AC=
故三棱柱D-ABC的表面积S=+=
三棱柱D-ABC的体积V==
设内切球的半径为r，外接球的半径为R，
由等体积的方法可得V=4×S×r，解得r=
三棱柱D-ABC的外接球的直径为以BA，DB，DC为棱的正方体的体对角线，
故2R=，解得R=