Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．
（Ⅰ）求证：GN⊥AC；
（Ⅱ）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

Answer

由三视图可得几何体为水平放置的直三棱柱，且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC=a；（1）连接DB，易证FD⊥AD，FD⊥CD，由线面垂直的判定定理和线面垂直的定义，可得结论；（2）经分析得，当点P与点A重合时，GP∥面FMC，下面根据面面平行的判断和性质可得结论．
证明：由三视图可得几何体为水平放置的直三棱柱，
且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC=a
（1）连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN，
又FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD=D，所以FD⊥面ABCD，FD⊥AC
又DN∩FD=D，∴AC⊥面FDN，又GN⊂面FDN
故可得：GN⊥AC；
（2）当点P与点A重合时，有GP∥面FMC，下面证明：
取DC中点S，连接AS、GS、GA
∵G是DF的中点，∴GS∥FC，AS∥CM，
∴面GSA∥面FMC，GA⊂面GSA
∴GA∥面FMC，即GP∥面FMC