Question

若椭圆与双曲线有相同的焦点F₁，F₂，P是椭圆与双曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

Answer

由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m-n=4．不妨设m=5，n=1，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，△PF1F2 中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．
【解析】
由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，
椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，
由它们有相同的焦点，得到m-n=4．
不妨设m=5，n=1，
椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2，①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，②
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=12，
∴PF1•PF2=4，
又|F1F2|=2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
则△F1PF2的形状是直角三角形
△PF1F2的面积为•PF1•PF2=×4=2．
故选B．