已知双曲线C：-y2=1，P是C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐...

已知双曲线C：

-y²=1，P是C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．

（1）设P（x，y），由点到直线距离公式，得P到两准线的距离之积满足，再结合点P坐标满足双曲线方程，代入化简整理即可得到，命题得证．（2）由两点的距离公式结合点P坐标满足双曲线方程，化简整理得|PA|2=，再根据二次函数的图象与性质，即可求出|PA|的最小值．【解析】（1）设P（x，y），P到两准线的距离记为d1，d2 ∵两准线为x-2y=0，x+2y=0…..2' ∴…..4’ 又∵点P在曲线C上， ∴=，得（常数）即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数….6’ （2）设P（x，y），由平面内两点距离公式得 |PA|2=…8’ ∵，可得= ∴|PA|2==…..9’ 又∵点P在双曲线上，满足|x|≥2， ∴当x=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’

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考点分析：

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