Question

如图，在底面边长为的正四棱柱A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-BD-C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由BD⊥CC1，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC1A1．
（Ⅱ）先将二面角C1-BD-C的大小为60°，转化为对应的平面角的大小，根据三垂线定理可知：∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角，即∠C1OC=60°，接着就可以求解异面直线BC1与AC所成角的大小．求异面直线所成的角，可用几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．连接A1B，由A1C1∥AC，可得∠A1C1B是BC1与AC所成的角．
证明：（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ADCD，
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形∴BD⊥AC
又∵AC，CC1⊂平面ACC1A1，且AC∩CC1=C，
∴BD⊥平面ACC1A1．
（Ⅱ）设BD与AC相交于O，连接C1O．
∵CC1⊥平面ADCD
∴BD⊥AC，∴BD⊥C1O，
∴∠C1OC∠是二面角C1-BD-C的平面角，
∴∠C1OC=60°．连接A1B．
∵A1C1∥AC，
∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角．
∵BC=，则
CO=1，CC1=CO•tan60°=．A1B=BC1=．A1C1=2．
在△A1BC1中，由余弦定理得cosA1C1B=