Question

矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，如图，又FD=2，．
（1）证明AE⊥平面FCB．
（2）求异面直线BD与AE所成角的余弦值．
（3）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？证明你的结论．

Answer

（1）根据两个平面垂直的性质定理证明BC⊥平面ABEF，可得 BC⊥AE，再证明矩形ABEF为正方形，可得 AE⊥BF，由直线和平面平行的判定定理证得AE⊥平面FCB．
（2）由于 =，平方利用两个向量的数量积的定义可得cos=-，从而得到异面直线BD与AE所成角的余弦值 ．
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，可证平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，由此得出结论．
【解析】
（1）证明：∵矩形ABCD与矩形ABEF有公共边AB，平面ABCD⊥平面ABEF，可得BC⊥平面ABEF，∴BC⊥AE．
又FD=2，，∴AF===EF，∴矩形ABEF为正方形，∴AE⊥BF．
而BC、BF是平面FCB内的两条相交直线，∴AE⊥平面FCB．
（2）∵=，平方可得 1=4+3+6+2 +2+2，
即 1=13+0+2×2cos+2××cos135°，
故 有 cos==-，∴异面直线BD与AE所成角的余弦值 ．
（3）分别取P，Q为DC及AF的中点，得MP∥BC，且MQ∥BF，故平面MPQ∥平面FBC，从而N为平面MPQ与FD的交点，易知N为FD的中点，
故在线段FD上存在中点N，使得MN∥平面FCB成立．