Question

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：①；②a=1；③；④a=2；⑤a=4．
（1）当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值，请说明理由；
（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最大值时，求直线PQ与平面ADP所成角的正切值；
（3）记满足（1）的条件下的Q点为Q_n（n=1，2，3，…），若a取所给数据的最小值时，这样的点Q_n有几个，试求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．

Answer

建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），设Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1），由PQ⊥QD得，由此能求出a的可能取值．
（2）a=1时，x=1，点Q的坐标为（1，1，0），从而，又为平面ADP的一个法向量，
所以，由此能求出直线PQ与平面ADP所成角的正切值．
（3）时，，即满足条件的点Q有两个，其坐标为．由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AQ1，PA⊥AQ2，所以∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角．由，知二面角Q1-PA-Q2的大小为30．
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
设Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）∵，
∴由PQ⊥QD得
∵x∈[0，2]，
a2=x（2-x）∈（0，1]
∴在所给数据中，
a可取和a=1两个值．
（2）由（1）知a=1，
此时x=1，即Q为BC中点，
∴点Q的坐标为（1，1，0）
从而，
又为平面ADP的一个法向量，
∴，
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为．
（3）由（1）知，
此时，
即满足条件的点Q有两个，
其坐标为
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ1，PA⊥AQ2，
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角．
由，
得∠Q1AQ2=30？，
∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30．