Question

若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y²=-12x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|²+|PB|²的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

Answer

（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；
（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；
（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．
【解析】
（1）由题意可得：抛物线y2=-12x的焦点（-3，0），
∵=，∴a=5，∴=4
∴椭圆C的方程为；
（2）设Q（x，y），-5≤x≤5
∴|MQ|2=（x-2）2+y2=
∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值
∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x-m）
直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2-50mk2x+25m2k2-400=0
∴x1+x2=，x1x2=
∴y1+y2=k（x1+x2）-2km=-，y1y2=
∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•
∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，
∴512-800k2=0，解得k=．