Question

已知正项数列{a_n}，{b_n}满足a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差数列，且对任意正整数n，都有成等比数列．
（ I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，试比较2S_n与的大小．

Answer

（I）利用正项数列{an}，{bn}满足对任意正整数n，都有成等比数列，可得an=bnbn+1，结合{bn}是等差数列，可求数列的公差，从而可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{an}的通项，利用裂项法求和，再作出比较，可得结论．
【解析】
（I）∵正项数列{an}，{bn}满足对任意正整数n，都有成等比数列，
∴an=bnbn+1，
∵a1=3，a2=6，∴b1b2=3，b2b3=6
∵{bn}是等差数列，∴b1+b3=2b2，∴b1=，b2=
∴bn=；
（Ⅱ）an=bnbn+1=，则=2（）
∴Sn=2[（）+（）+…+（）]=1-
∴2Sn=2-
∵=2-
∴2Sn-（）=
∴当n=1，2时，2Sn＜；当n≥3时，2Sn＞．