Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F G、H分别是线段PC、PB、AD、AB的中点．
（1）求证：PA∥平面DEB
（2）求证：平面GHF∥平面DEB．

Answer

（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据三角形中位线定理，可得EO∥PA，进而由线面平行的判定定理得到PA∥平面DEB
（2）连接EF，根据三角形中位线定理，可得EF∥GD且EF=GD，进而根据平行四边形的判定及性质可得GF∥DE，由线面平行的判定定理可得GF∥平面DEB，又由G，H分别为AD，AB的中点，由三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得GH∥平面DEB，进而由面面平行的判定定理可得平面GHF∥平面DEB．
证明：（1）连接AC，交BD于O，连接EO
∵E，O分别为PC，AC的中点
∴EO∥PA
又∵EO⊂平面DEB，PA⊄平面DEB
∴PA∥平面DEB
（2）连接EF
∵E，F分别为PC，PB的中点
∴EF∥GD且EF=GD
∴EFGD为平行四边形
∴GF∥DE
又∵DE⊂平面DEB，GF⊄平面DEB
∴GF∥平面DEB
∵G，H分别为AD，AB的中点
∴GH∥DB
又∵BD⊂平面DEB，GH⊄平面DEB
∴GH∥平面DEB
又∵GH∩GF=G
∴平面GHF∥平面DEB