Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点．
（1）求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（2）求BM与平面A₁B₁M所成的角大小．

Answer

（1）由长方体的几何特征，可得∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角，解△MA1B1即可得到异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（2）由长方体的几何特征可得A1B1⊥平面BCC1B1，进而由线面垂直的定义可得A1B1⊥BM，结合（1）中结论及勾股定理可得BM⊥B1M，进而由线面垂直的判定定理可得BM⊥平面A1B1M，即BM与面A1B1M成90度角．
【解析】
（1）如图，因为C1D1∥B1A1，
所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．
因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，
而A1B1=1，B1M=，故tan∠MA1B1==．
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为．
（2）由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面平面BCC1B1，得
A1B1⊥BM①
由（1）知，B1M=，
又BM==，B1B=2，
所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M②
又A1B1∩B1M=B1，
∴BM⊥平面A1B1M，
∴BM与面A1B1M成90度角．