Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求直线AC与平面PCD所成角．

Answer

（Ⅰ）欲证AG⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AG与平面PCD内两相交直线垂直，根据CD⊥AD，CD⊥PA，可证得CD⊥平面PAD，从而CD⊥AG，又PD⊥AG满足线面垂直的判定定理条件；
（Ⅱ）欲证AG∥平面PEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AG与平面PEC内一直线平行，作EF⊥PC于F，根据面面垂直的性质可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，则EF∥AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，满足定理所需条件；
（Ⅲ）可以连接CG，构造直角三角形ACG，可知∠ACG即为直线AC与平面PCD所成角，解直角三角形，求出∠ACG的大小；
证明：（Ⅰ）∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD           …（4分）
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC     …（4分）
（Ⅲ）连接CG，∴
在Rt三角形ACG中，∠AGC=90°
可得…2分．