Question

在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

Answer

（1）依题意，椭圆过点，故，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，由此入手能够证明直线MN必过x轴上的定点（1，0）．
【解析】
（1）依题意，椭圆过点，
故，
解得．…（3分）
椭圆C的方程为．…（4分）
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=，…（5分）
代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，…（6分）
设M（x1，y1），则，…（7分）
，
故点M的坐标为．…（8分）
同理，直线QB的方程为，
代入椭圆方程，得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
设N（x2，y2），
则，
．
得点N的坐标为．…（10分）
①若时，
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m2≠40，直线MN的方程为，
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）