Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：以AB为直径的圆过坐标系的原点O；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．

Answer

（1）利用直线与抛物线联立方程组，通过韦达定理，推出AN两点纵横坐标的关系，求出OA与OB的斜率乘积等于-1，即可得到以AB为直径的圆过坐标系的原点O；
（2）设直线与x轴交于N，求出N（-1，0），利用S△OAB=S△OAN+S△ONB，通过△OAB的面积等于，即可求k的值．
【解析】
（1）证明：由题意可得方程组，
消去x可得ky2+y-k=0，
设A（x1，y1）B（x2，y2）由韦达定理可得y1•y2=-1，
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12y22=x1x2，
∵kOA•kOB===-1；
∴OA⊥OB，
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O．
（2）【解析】
设直线与x轴交于N，又k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0），
∵S△OAB=S△OAN+S△ONB
=
=，
∴S△OAB=
==，
解得k=．