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设f(x)=(ax+b)lnx-4ax,对于任意的a∈(1,2),f(x)均单调...

设f(x)=(ax+b)lnx-4ax,对于任意的a∈(1,2),f(x)均单调递增,则b的取值范围为   
已知f(x)=(ax+b)lnx-4ax,对于任意的a∈(1,2),f(x)均单调递增,说明f′(x)≥0恒成立,可以推出a与b的关系,再利用常数分离法进行求解; 【解析】 ∵f(x)=(ax+b)lnx-4ax,对于任意的a∈(1,2),f(x)均单调递增, ∴f′(x)=alnx+(ax+b)×-4a≥0在x>0上为单调增函数, ∴(ax+b)×≥4a-alnx, ∴b≥3ax-axlnx(x>0), 令g(x)=3ax-axlnx=a(3x-xlnx)(x>0),a∈(1,2), 求3x-xlnx的最大值,令h(x)=3-(lnx+1)=0,可得x=e2, 存在唯一极值点也是最大值点,h(x)max=h(e2)=3e2-e2×2=e2, ∴g(x)max=2×e2=2e2,∴b≥2e2, 故答案为:[2e2,+∞);
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